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讲述思维导图

从右上顺时针 1 → 6 · 圆圈号 = 板书小抄的板块号

正文 40 页，约 51 分钟

6

什么可信

③④ · 第 29–40 页
  • t > 41 单条轨道没有答案；影随只给方向，辩护靠测量
  • 统计量不随 rtol 变：映射厚度 8.6×10⁻⁵，密度总变差 0.0099
  • 判据三行：守恒 · 耗散非混沌 · 耗散混沌
  • 哈密顿守 H、相体积、辛形式；Lorenz 一样也没有
  • 算力 ×10：Kepler 可信时间 ×100，Lorenz +20
  • 声学：FDTD = 蛙跳 = 辛；声湍流报谱与统计矩

落地守恒看不变量，混沌看统计量

5

精度估算

② · 第 24–28 页 + 备用
  • |Δ| ≈ δeλ₁t ⇒ T = ln(1/δ)/λ₁，每位 +2.55
  • 心算 12.7 · 23 · 20.4 · 41 ↔ 实测 13.6 · 23.4 · 21.2 · 40.76
  • 代价是幂律 nfev ∝ s·tol−1/p：DOP853 步数 ×10 换 +20
  • 方法：阶 4 / 5 / 8，稳定域交点 −2.79 / −3.31 / −6.39
  • 精度域在稳定域里：h ≈ 0.01，RK4 上限 0.127
  • 关注点：稳定性 → 精度 → λ₁ → 双精度 1e−16

落地精度乘 10，时间只加 2.55

4

Jacobian 与 Lyapunov 指数

① · 第 19–23 页
  • J 逐行求偏导，含 x、y、z → 随点变；读三次
  • 局部指数 e·Je：平均 0.907 = λ₁，51% 的时刻在缩
  • 定义 M′ = JM；Benettin：Σ ln|Rkk| / t
  • QR：diag(2, ½)，减掉投影才见 −ln 2
  • tr(QᵀJQ) = tr J = −13.67 ⇒ λ = (0.904, 0, −14.57)，DKY ≈ 2.06

黑板 ②③一个方向在拉伸；体积缩到零

计算物理 · 课程汇报

从对流方程
到可信的数值解

以 Lorenz 系统为例

ẋ =σ(y − x)ẏ =ρx − y − xzż =xy − βz

σ = 10 · β = 8/3 · ρ = 28

主线T = ln(1/δ) / λ₁
精度 ×10 → 时间 +2.55
16 位 → 41

开场：同一方程、初值、求解器，只拧 rtol
1e−3 → 1e−12，脱钩 5.4 → 26.8

1

方程从哪来

绪论 · 第 4–13 页
  • Rayleigh–Bénard：Ra = 想翻的 ÷ 拦着的，ΔT 是旋钮
  • Boussinesq → ψ、θ 两条 PDE：未知量是函数，无穷维
  • 三模 Galerkin：x 转速 · y 温差 · z 多运的热
  • 代入：x·y → sin 2πZ 给 +xy；x·z → sin πZ 给 −xz，sin 3πZ 扔掉
  • ρ = 28：被扔的与驱动之比 (ρ−1)/ρ ≈ 96%，定常卷 Nu ≤ 3 → 数学对象
  • 线方法 N = 3：RK4 讲原理，DOP853 只拧 rtol

落地每一步都很准；问题是误差怎么累积

2

不动点与分岔

① · 第 14–17 页
  • 演示拧 ρ：静止 → 定常卷 → 停不下
  • O 静止导热；C± = (±8.49, ±8.49, 27) 定常卷
  • 原点：两根之积 σ(1−ρ)，ρ = 1 变鞍点（叉式）
  • C±：系数全正 ⇒ 只能复根穿虚轴；a₂a₁ = a₀ ⇒ ρH = 470/19 ≈ 24.74
  • 验算 ρ = 28：根之和 −13.67 = tr J，积 1440，a₂a₁ ≈ 1385 < 1440

黑板 ①停不下：三个不动点全不稳

3

截面与一维映射

① 第 18 页 · ③ 第 31 页
  • 平面流线不交叉 → 混沌至少三维
  • 截面 z = 27：3992 次穿越，一圈 ≈ 0.75 个时间单位
  • 门槛 |x| ≈ 13.25：内留外换，越过越少落得越远
  • |F′| > 1 处处；每圈约 2 倍（0.9 × 0.75 ≈ 0.68）
  • Lorenz 映射对 rtol 不敏感：厚度 8.6×10⁻⁵

落地三维的流压成一条处处拉伸的映射

黑板右栏 ① 停不下 ② 一个方向在拉伸，λ₁ ≈ 0.9 ③ 体积缩到零，Σλ = tr J = −13.67 T = ln(1/δ)/λ₁，+2.55 / 位，41 守恒乘法，混沌加法